Axiomatique de la théorie des livres
On note Ω l’ensemble des livres, appelé par la suite « l’univers ».
Axiome d’extensionnalité : Deux livres ayant les mêmes éléments sont identiques.
∀a ∀b, (∀x, x ∈ a ⇔ x ∈ b) ⇒ a = b
Axiome de la paire : Étant donné deux livres, il existe un troisième livre qui a pour uniques éléments les deux livres précédents.
∀a ∀b ∃c (∀x, x ∈ c ⇔ (x = a ∨ x = b))
Axiome de la réunion : À tout livre, on peut associer un livre de l’univers qui est l’union des éléments du premier, i.e. dont les éléments sont exactement les éléments des éléments du premier.
∀a ∃b (∀x, x ∈ b ⇔ ∃y, y ∈ a ∧ x ∈ y)
Axiome de l’ensemble des parties : À tout livre, on peut associer un livre de l’univers qui contient exactement les parties (i.e. les sous-livres) du premier.
∀a ∃b (∀x, x ∈ b ⇔ x ⊂ a)
Schéma d’axiomes de substitution : Il s’agit en fait d’une infinité d’axiomes. Le schéma d’axiome de substitution nous permet, à partir d’une relation fonctionnelle et d’un livre, de former un nouvel livre. Par exemple il nous permet de former l’image d’un livre par une fonction (en tant que livre, et pas seulement comme une collection).
Axiome du vide : Il existe un unique livre vide.
Remarque : On note Ł le livre vide.
Remarque : Il faut préciser ici que le terme « vide » est considéré comme une caractérisation syntaxique. Si l’on considère « vide » dans son acceptation sémantique, il existe alors une infinité de livres vides.
Axiome de l’infini : Il existe un livre infini.
Axiome de fondation : Tout livre non vide contient un élément avec lequel il n’a aucun élément en commun.
∀x, (x ≠ Ł ⇒ ∃y ∈ x, x ∩ y = Ł )
Afin d’obtenir une axiomatique complète de la théorie des livres, il faudrait ajouter ici l’Axiome du choix, naturellement. Les membres de Nonédition discutent encore de sa bonne formulation.